54 lines
3.0 KiB
Markdown
54 lines
3.0 KiB
Markdown
# Пример расчета суммы ряда
|
|
|
|
Рассмотрим как можно посчитать предел суммы ряда на lyng. Для наивной реализации
|
|
представим что у нас есть функция рассчитывающая n-й член ряда. Тогда мы можем
|
|
считать сумму до тех пор, пока отклонение при расчете следующего члена не станет
|
|
меньше чем заданная погрешность:
|
|
|
|
fun сумма_ряда(x, погрешность=0.0001, f) {
|
|
var сумма = 0
|
|
for( n in 1..100000) {
|
|
val следующая_сумма = сумма + f(x, n)
|
|
if( n > 1 && abs(следующая_сумма - сумма) < погрешность )
|
|
break следующая_сумма
|
|
сумма = следующая_сумма
|
|
}
|
|
else null
|
|
}
|
|
|
|
Для проверки можно посчитать на хорошо известном ряду Меркатора
|
|
|
|
$$ \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}} $$
|
|
|
|
Который в нашем случае для точки $ x = 1 $ можно записать так:
|
|
|
|
val x = сумма_ряда(1) { x, n ->
|
|
val sign = if( n % 2 == 1 ) 1 else -1
|
|
sign * pow(x, n) / n
|
|
}
|
|
|
|
Проверим:
|
|
|
|
assert( x - ln(2) < 0.001 )
|
|
|
|
В нашем примере есть изъян - погрешность вычисляется примитивно: `abs(следующая_сумма - сумма) < погрешность`, что совершенно неверно, если значения малы. Значительно более корректно вычислять погрешность, нормированную на диапазон сравниваемых величин:
|
|
|
|
|
|
fun погрешность(x0, x1) {
|
|
abs( x1 - x0 ) / (abs( x1 + x0 ) / 2.0)
|
|
}
|
|
// относительная погрешность одинакова и в разных диапазонах
|
|
assertEquals( погрешность(5,6), погрешность(0.005,0.006))
|
|
|
|
Теперь мы могли бы написать более корректное сравнение для вещественных
|
|
|
|
// расхождение не больше 1% или сколько укажете:
|
|
fun почти_равны(a,b,epsilon=0.01) {
|
|
погрешность(a,b) <= epsilon
|
|
}
|
|
assert( почти_равны( 0.0005, 0.000501 ) )
|
|
|
|
Во многих случаях вычисление $n+1$ члена значительно проще cчитается от предыдущего члена, в нашем случае это можно было бы записать через итератор, что мы вскоре добавим.
|
|
|
|
(продолжение следует)
|