lyng/docs/samples/сумма_ряда.lyng.md

Пример расчета суммы ряда

Рассмотрим как можно посчитать предел суммы ряда на lyng. Для наивной реализации представим что у нас есть функция рассчитывающая n-й член ряда. Тогда мы можем считать сумму до тех пор, пока отклонение при расчете следующего члена не станет меньше чем заданная погрешность:

fun сумма_ряда(x, погрешность=0.0001, f) {
    var сумма = 0
    for( n in 1..100000) {
        val следующая_сумма = сумма + f(x, n)
        if( n > 1 && abs(следующая_сумма - сумма) < погрешность )
            break следующая_сумма
        сумма = следующая_сумма
    }
    else null
}

Для проверки можно посчитать на хорошо известном ряду Меркатора

\ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}

Который в нашем случае для точки x = 1 можно записать так:

val x = сумма_ряда(1) { x, n -> 
    val sign = if( n % 2 == 1 ) 1 else -1
    sign * pow(x, n) / n
}

Проверим:

assert( x - ln(2) < 0.001 )

В нашем примере есть изъян - погрешность вычисляется примитивно: abs(следующая_сумма - сумма) < погрешность, что совершенно неверно, если значения малы. Значительно более корректно вычислять погрешность, нормированную на диапазон сравниваемых величин:

fun погрешность(x0, x1) {
    abs( x1 - x0 ) / (abs( x1 + x0 ) / 2.0)
}
// относительная погрешность одинакова и в разных диапазонах
assertEquals( погрешность(5,6), погрешность(0.005,0.006))

Теперь мы могли бы написать более корректное сравнение для вещественных

// расхождение не больше 1% или сколько укажете:
fun почти_равны(a,b,epsilon=0.01) { 
    погрешность(a,b) <= epsilon 
}
assert( почти_равны( 0.0005, 0.000501 ) )

Во многих случаях вычисление n+1 члена значительно проще cчитается от предыдущего члена, в нашем случае это можно было бы записать через итератор, что мы вскоре добавим.

(продолжение следует)